Точки A и B лежат в плоскости, a точка C не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков AC и ВС, параллельна плоскости.

Для начала обозначим середины отрезков AC и BC как M и N соответственно.

Для того чтобы доказать, что прямая MN параллельна плоскости a, достаточно показать, что вектор MN перпендикулярен нормали плоскости.

Пусть d — нормаль к плоскости a. Тогда, чтобы вектор MN был перпендикулярен d, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение векторов MN и d было равно нулю.

Вектор MN можно найти, вычислив разность координат точек M и N. Вектор d уже известен, так как он является нормалью к плоскости a.

Таким образом, задача сводится к вычислению скалярного произведения этих двух векторов и доказательству, что оно равно нулю.

Итак, пусть координаты точек A, B и C в плоскости a равны (x?, y?, z?), (x?, y?, z?) и (x?, y?, z?) соответственно. Тогда координаты векторов MN и d можно найти следующим образом:

MN = ((x? + x?)/2 - (x? + x?)/2, (y? + y?)/2 - (y? + y?)/2, (z? + z?)/2 - (z? + z?)/2)

d = (a, b, c), где a, b и c – координаты нормали к плоскости a.

Теперь вычислим скалярное произведение этих векторов:

MN • d = ((x? + x?)/2 - (x? + x?)/2) * a + ((y? + y?)/2 - (y? + y?)/2) * b + ((z? + z?)/2 - (z? + z?)/2) * c

После раскрытия скобок получаем:

MN • d = (x? * a + x? * a - x? * a - x? * a) / 2 + (y? * b + y? * b - y? * b - y? * b) / 2 + (z? * c + z? * c - z? * c - z? * c) / 2 MN • d = (x? - x? + x? - x?) * a / 2 + (y? - y? + y? - y?) * b / 2 + (z? - z? + z? - z?) * c / 2 MN • d = (x? - x?) * a / 2 + (y? - y?) * b / 2 + (z? - z?) * c / 2

Из предыдущего выражения видно, что скалярное произведение MN и d равно нулю тогда и только тогда, когда (x? - x?) * a + (y? - y?) * b + (z? - z?) * c = 0.

Но последнее равенство означает, что вектор AB перпендикулярен вектору d, а это, в свою очередь, означает, что прямая AB параллельна плоскости a.

Таким образом, прямая MN, проходящая через середины отрезков AC и BC, параллельна плоскости a, что и требовалось доказать.