Середины сторон параллелограмма образуют ромб. Докажите, что данный параллелограмм прямоугольник?

Допустим, что параллелограмм не является прямоугольником. Тогда у него есть две противоположные стороны, которые не являются перпендикулярными.

Пусть AB и CD - такие стороны, которые не перпендикулярны.

Поскольку противоположные стороны параллелограмма параллельны, BC и AD также являются параллельными.

Также известно, что середины сторон образуют ромб. Это означает, что все четыре стороны ромба одинаковой длины. Пусть M, N, P и Q - середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно.

Таким образом, длины сторон AM, BM, BN и AN равны. Аналогично, длины сторон CN, DN, DP и CP равны.

Рассмотрим треугольник AMN. У него все стороны равны, что делает его равносторонним треугольником.

Теперь рассмотрим треугольник CNP. У него все стороны равны, что делает его также равносторонним треугольником.

У них есть общая сторона MN, которая является серединой стороны BC параллелограмма.

В таком случае, по свойству равностороннего треугольника, сторона CP также является серединой стороны AD параллелограмма.

Таким образом, сторона BC параллелограмма делится пополам обеими парами сторон AM, BN и CP, DN.

Но это возможно только тогда, когда сторона BC является перпендикулярной к сторонам AB и CD.

Таким образом, предположение о том, что параллелограмм не является прямоугольником, неверно.

Следовательно, данный параллелограмм обязан быть прямоугольником.